以前、ガウス記号を紹介しました。実はあれを使うと、実数の9進数展開の各桁を取り出せます。

なんでもいいので、ある実数を \(S\)（\(0 \leq S < 1\)）としましょうか。\(S\) の9進数展開の小数点以下第 \(n\) 桁 \(a_n\) は

\[ a_n = \lfloor 9^n S \rfloor - 9 \lfloor 9^{n-1} S \rfloor \]

で求まります。

…は？

うむ。皆さんの声が聞こえてくるようです。

試しに \(S = 0.56789\) で計算してみます。

・0.56789の小数点以下第1位を取り出す \[ \lfloor 9 \times 0.56789 \rfloor - 9 \times \lfloor 0.56789 \rfloor = \lfloor 5.111\ldots \rfloor - 0 = 5 \]

・0.56789の小数点以下第2位を取り出す \[ \lfloor 81 \times 0.56789 \rfloor - 9 \times 5 = \lfloor 45.999\ldots \rfloor - 45 = 0 \]

・0.56789の小数点以下第3位を取り出す \[ \lfloor 729 \times 0.56789 \rfloor - 9 \times 45 = \lfloor 414.092\ldots \rfloor - 405 = 9 \]

小数第1位は5、小数第2位は0、小数第3位は9ということになりそうです！ あ、でも9進数に「9」は使えないんでしたね。繰り上がりが発生するので、実際の計算では注意が必要です。

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■ 繰り上がりが起きるとき

\(S = 0.56789\) の3桁目で「9」が出てしまいました。 これは実は「前の桁が本来1つ大きかった」ことを意味します。\(n=2\) の計算を振り返ると、\(\lfloor 45.999\ldots \rfloor = 45\) としましたが、45.999…は限りなく46に近い値です。計算の精度が十分であれば \(\lfloor 45.999\ldots \rfloor = 46\) となり、\(n=2\) の桁は \(46 - 45 = 1\)、\(n=3\) の桁は \(\lfloor 414.092\ldots \rfloor - 9 \times 46 = 414 - 414 = 0\) と正しく収まります。

より正確には、9進数の「9」という桁は存在しないので、もし \(a_n = 9\) になった場合は

\[ a_n = 9 \Rightarrow a_n = 0 \text{ として前の桁 } a_{n-1} \text{ に1を加える} \]

という繰り上がり処理が必要です。

ただし、\(S\) が本当に「きれいな」9進小数展開を持つ値であれば、各桁は必ず0〜8に収まります。繰り上がりが起きるのは、計算の精度不足か、そもそも \(S\) の選び方が9進数と相性の悪い値だったかのどちらかです。

これを無限に続けて足し合わせると

\[ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{9^n} \]

という形で、任意の小数を9進数として再構成できます。

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ちなみに、この操作で取り出した各桁 \(a_n\) を使って、こんな式を考えてみましょう。

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n} \]

この無限和の最初の項は \(a_1\) を10で割った値、第2項は \(a_2\) を100で割った値、第3項は \(a_3\) を1000で割った値…。つまりこの式は \(0.a_1 a_2 a_3\ldots\) という小数を表しています。

実数Sの9進数展開の各桁をそのまま小数として横に並べた値、とも言えます。

さて、9進数展開の各桁 \(a_n\) は必ず0〜8の整数です。9という数字は絶対に現れません。ということは、\(0.a_1 a_2 a_3\ldots\) という小数の各桁も、すべて0〜8に収まります。

もし指が8本しかない人がいたとしても、この小数の各桁なら全部数えられます。