\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots = e \]

より

\[ \sin(e) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{(2m+1)!} \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \right)^{2m+1} \]

の値が分かる。

各桁 \(a_n\) は

\[ a_n = \lfloor 9^n \sin(e) \rfloor - 9\lfloor 9^{n-1} \sin(e) \rfloor \]

で求まり、順に計算すると \(a_1=3, a_2=6, a_3=2, a_4=4, \ldots\) となる。

この各桁を

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{9^n} \]

で足し合わせれば元に戻る。9進数展開の定義そのものだから当然だ。

だがここで改めて、彼が渡してきた式を見る。

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n} \]

分母が9ではなく10になっている。数学的な再構成として自然なのは分母 \(9^n\) のはずで、\(10^n\) にする理由が最初は分からなかった。

\(\sum \frac{a_n}{10^n}\) が何を表すか考える。第1項は

\[ \frac{a_1}{10} = \frac{3}{10} = 0.3 \]

第2項は

\[ \frac{a_2}{100} = \frac{6}{100} = 0.06 \]

第3項は

\[ \frac{a_3}{1000} = \frac{2}{1000} = 0.002 \]

であり、これを足し合わせると

\[ 0.3 + 0.06 + 0.002 + 0.0004 + \cdots = 0.3624\ldots \]

となる。つまり \(\sum \frac{a_n}{10^n}\) は、9進数展開の各桁をそのまま10進数の小数として横に並べた数字列

\[ 0.3624120153\ldots \]

を表している。

ではなぜ分母を10にしたのか。

9進数展開の各桁は定義上 \(\{0,1,\ldots,8\}\) に属するから、この数字列には9が一切現れない。現れるはずがない。

0から8まで。9は使わない。

指が8本しかない人間が、その8本の指で、この数字列の桁を一つずつ数えていくことができる。

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{10^n} \]

は「8本の指で数えられる数字列」を作る式だ。

数学的な整合性のためではなく、指で数えるために、分母は10でなければならなかった。